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维数的含义——兼评“36维空间”——禅院“科学”系列批判之三十一 在拙帖系列批判之三十中，我们简单了解了空间维数的定义，并且根据我们所在的三维空间，形象直观地说明了什么是零维、一维、二维以及三维空间。给出了相似维数的基本定义，由此能够理解高于三维的空间，甚至分数维的空间。那么，空间的维数有什么含义呢？或者说，对于生活在不同维数空间的智慧生物（假定这些智慧生物存在），他所处空间的维数究竟意味着什么？我想最为鲜明的含义是：自由度，自由度的个数。维数越大，自由度个数越多。
比如说吧，在零维空间（一个数学点）里，自由度为零；没有多少讨论的意义。
在一维空间——您可以想象一根封闭细管，这个管子只能容许一个一维生物（点状或线状的）前后移动，因此它的自由度为1；
在二维空间——您可以想象一个面（平面或者曲面），所有二维生物（点状、线状或者面状的）都被限制在这个面上，可以前后左右沿着这个面的任意方向移动，其自由度为2；
在三维空间——也就是我们人类所熟悉的空间，对于不很大的范围，我们可以将三维空间想象成一个大箱子（当然仅仅是想像而已，实际上并不存在这么一个大箱子），三维生物在其间，不仅能前后左右地移动，也能上下移动，于是其自由度为3.
从高维空间看低维空间很容易，举例说，篮球表面上有一只小蚂蚁，如果小蚂蚁被限制在这个球面上移动，对于它来说，这个球面是有限的，但同时也是没有边界的（爱因斯坦推测我们的宇宙，就类似于这样的“有限无界”的空间）。我们这种三维生物很容易观察小蚂蚁这种二维生物的活动情况，然而低维的蚂蚁却很难理解高维空间的情况。比如要是我们把这只小蚂蚁从球面上拿起——脱离了二维空间同时进入到三维空间——把它放到地面上，对于这只可怜的小蚂蚁来说，它根本不能知道是怎样实行了这样的空间转换。
类似的，如果有智慧生物生活在四维空间，他看待我们如同我们看待二维生物一样。在三维空间根本不可能实现的过程，比如要求把密闭容器中的一个物体拿出来，同时不允许“打开”这个容器；但是对于四维智慧生物来说，这个密闭容器根本就没有“封闭”而是有一维——第4维——我们人类不能察觉不能进入而已。于是这个四维生物就能很容易地沿着第4维将其取出。
综上所述，空间的维数表示的不是空间的个数，而是物体在其间移动的自由度。
按照这个理解，就很容易看出禅院制造的“36维空间”是多么荒谬了。因为这个挂着“36维空间”的名字的东东，并不是维数含义——自由度个数的“维”，仅仅表示个数的意思。因此把它称为“36个空间”倒是合乎其本来含义的。
大部分人知道，我们人类生活的空间是三维的，上下、左右和前后。因此我们可以说处在一个相当优越同时又相对可怜的参考系中，举例来说，我们很容易理解什么是一维、二维的世界；同时有很难想象高于三维的世界。
设想一下一个生活在“一维”世界里的智慧生物，这个一维世界，你可以想象成为一根没有粗细的线，可以是直线，当然也可以是曲线；如果是曲线，则这曲线可以是无限延伸的、开放的，也可以是闭合的。下面我们可以推测，生活在这样的“一维世界”里的智慧生物的样子，只能是点状的或者是短线状的，它的生活空间只能非常无奈的被局限在这个线状的一维世界里，它所能够观察到的任何影像，也只能是点状物体（或者用数学语言说，是零维的物体）。因此，在一维世界，只有“前后”（你也可以说成是“左右”，或者“上下”，但是不管怎么说，却只能有一个“维度”，有了一个，就没有其他）；一维世界里的智慧生物，形状被限制为点状的或线状的；一维生物观察到的任何物体影像，只是一个点。
正如一根线可以放在一个面上，我们说，一维空间可以“镶嵌在”二维空间或者更高维的空间（这个结论就是拓扑学里的惠特尼定理），更一般地，任n维空间都能镶嵌在维数更高的空间之中。下面让我们俯下身子，来到在这个面上，我们就来到了“二维空间”。构成二维空间的面，可以是平面，也可以是曲面，如果是曲面，这曲面可以是无限延展的，开放的；当然也可以是闭合的——比如一个球面。
设想一个生活在“二维”世界里的智慧生物，与可怜的一维生物相比，二维生物当然很容易产生极大的优越感，在它看来，一维生物生活的空间如此的不自由，只能沿着一根细线朝前或者往后地运动，永远也无法领略二维世界的丰富多彩和二维生物的自由。特别是对于生活在闭合的一维世界里的生物从一个地方到另一地方，竟然不知道有捷径可走。那么，相对于一维世界智慧生物来说，二维生物这种优越感来自哪儿？我想，最核心的是，二维生物的“自由度”比一维生物的多，它不仅能沿着前后运动，也能沿着左右运动，事实上，如果一维生物只有两个方向可供它们选择，那么，二维生物可供选择的方向就有无数多个！你可以想象能够沿着一片空地自由爬行的小虫子，当它见到一个被限制在一根儿细管儿的同类的悲惨状况的时候，所产生的巨大优越感吧，这就是二维生物对一维生物的感觉。然而，这个二维生物幸亏没学习拓扑学，虽然被限制在一个二维的“面”世界里，却依然自得其乐，因为它知道，有比它不幸无数倍的一维生物存在呢！
站在我们所生活的三维世界看这位二维世界里的智慧生物，正像它观看一维生物一样的想法。我们的自由度更高，我们不仅有前后，还有左右，还有上下；我们不仅能够沿着二维世界的地面前后左右的运动，我们还能够脱离这个二维世界到达别的地方，上天入地。我们不仅知道什么是点，还知道什么是面，什么是体，我们不仅能够看到自己的四面八方，还能仰望高天，俯窥大地，与二维生物相比，我们感觉自己具有无比的优越性……
举个例子说，一个二维生物可以被约束在一个圆圈之内——记得小时候做的一个很残忍的游戏，在一块水泥地板上，用樟脑丸画上一个圆圈，然后把一只小蚂蚁放进去，从上面（它不能知道不能想象的维度）看着那只可笑的蚂蚁东突西窜却不得出去，我们彷佛验证了自己的高超——高“蚁”一等；最后玩得腻了，发个善心，把那只累得头昏脑涨的小蚂蚁拿出圈子，我想，那只小蚂蚁至今一定还弄不明白，它究竟是如何出来的？
如果，如果，如果……如果有四维世界，如果有四维世界里生活的四维生物，那么，那么，那么——那么会有一种什么景象？或者说，一位站在四维世界的四维生物看我们这些可怜的三维生物，跟我们看二维生物，跟二维生物看一维生物，恐怕没有太大的区别吧？如果有五维世界、六维世界……以及更高维的世界和这些世界里生活的高维生物呢？
把刚才那个戏弄小蚂蚁的例子推广一下：假设我被关在一个封闭的三维容器——比方是一个金属球壳吧——之中，在里面我就像刚才的那只小蚂蚁似的东突西窜，或者像孙行者在小雷音寺被一个金铙所困住一样，但是很不幸，我的努力注定是徒劳的，没有来自奇迹世界里的帮助，我是出不来的。这时有一位四维世界的智慧者，他从那第4个空间维度看着我，就像刚才我看着蚂蚁——对于蚂蚁，那个用樟脑丸画成的圆圈是封闭的，它只有两个维度，不能借助第三个维度——往上飞——出来；我呢？只有三个维度，不能借助第四个维度出来，尽管这第四个维度在这位四维智慧者看来是很自然的一维，但是我和所有的三维生物，却是难以想象的。
我想，上帝可以处在任意维度的空间——我们不能用肉眼看见他，他一定看得见我们。
此文于2008年07月29日做了修改
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