----超越“唯物论”和“唯心论”续篇
   2007-12
   
   “分形”和“规范世界”
   

   嚴家祺
   在上期《超越“唯物论”和“唯心论”》一文中，我提出了“规范世界”的概念。这是在“现实世界”（由“物质世界”和“观念世界”构成）以外的一个客观存在的“世界”。
    在上述文章中，我提到，五种“正多面体”、圆周率的精确值、自然对数的精确值都可视为“规范世界”中的“存在”。本文将說明形形色色的“分形”图案的“原型”，也是“规范世界”中的“存在”。
    树、闪电、三角洲
    自然界中有许多非常不同的东西，具有相同的形式或结构。树、闪电、三角洲 就是一个例子，它们都有分支点的系统的特点。松树、垂柳、白杨、山毛榉的基本形状由它们的遗传基因决定，但每一棵树的树枝如何伸展，每一树枝上何处发芽，是由种种偶然因素造成的。闪电、三角洲的形状也是由种种偶然因素造成的。如果把时间尺度放慢一万億倍，一个闪电就会象一棵树那样缓慢生长。如果把时间尺度放慢一万億倍的一万倍（或更长），那么，一个闪电过程就会象一条大河形成一个三角洲那样地缓慢。
    树、闪电、三角洲等有分支点的系统，在数学上称为“分形”（fractal）。一般的说，“分形”是指具有“自相似”特性的现象、图像或过程。图1是典型的分形“树结构”图。
   
   www.frontiermentality.org www.visualbots.com/tree_project.htm
   或从google的 “图片”上找 “fractal”、“Mandelbrot set”
   
   （图1）树结构的“分形”图案
   
   图1的特点是有无限精细的结构，每一个局部放大后与整体相似。
    在自然界中，具有“自相似”特性的事物很多，湍流、飓风、大脑皮层的褶皱、分布在肺组织中的气管和支气管等等。它们与数学上的“分形”的区别是，前者是有限的，后者是无限的。
   
   
   
   此图可在google上打“pulmonary fractal”搜索“图片”第二页可以找到
   （图2）肺组织中的“分形”结构
   
   
   “分形”图案的发现
   二十世纪数学上的一个重大成就，就是“分形”图案的发现。这一发现，与计算机的应用有关。举例來說，把一个蛋糕分成三份，要求每一个“分割点”都同三部分相邻接。严格按此要求分割蛋糕形成的图案，就是一种“分形”图案。我把这一“分形”图案称为“三邻接图”。如果从“中心点”向蛋糕边缘切三刀，蛋糕虽然分成了三部分，但只有“中心点”一个点同三部分相邻接，其余地方的“点”只同两部分相邻接。我们普通三分蛋糕的方法，不能形成“分形”图案。“三邻接图”无法凭空画出来，可用“迭代法”解一个简单的三次方程得到。在没有高速计算机的时代，一位数学家可以用笔计算，在“復数平面”求解。这
   位数学家即使计算了一万个点，也无法形成图3中的图形，因为一万个点太少了。高速
   这幅图在google上打“fractal gallery”，但
   “位置”在第3-5页，要化几分鐘时间才能找到
   （图3）一种“分形”图案：“三邻接图”
   
   计算机可以在很短的时间內显示出图3那样的图形。仔细观察这一图可以发现，图3中的每一“邻接点”处，都可以无限放大，放大后仍然是原来的图形。这正是“自相似”。
    图3所示的“三邻接图”是美国数学家哈伯德（John Hubbard）在1976年用计算机进行“迭代计算”发现的。这个图形不是“发明”的，而是“发现”的，它早存在于“规范世界”中。高速计算机就象过去的显微镜、望远镜那样，成了发现新事物的工具。
    1979年，法国数学家伯努瓦•曼德尓勃罗特（Benoit Mandelbrot）用计算机进行“迭代计算”时发现了一种非常复杂的“分形”图案，无论放大多少倍，这个图案没有任何一部分与其它部分完全相像。這是一种复杂的“自相似”。这一类图案后来被命名爲“曼德尓勃罗特集”（ Mandelbrot Set）。
   
   
   
   在google上打“Mandelbrot set”即能找到
   （图4）曼德尓勃罗特集（左图黑色部分），右图是放大的一处细部，
   每一小黑点都与原形相似
   
   
   
   曼德尓勃罗特集是“復数平面”上的一个“点集”。确定某一点（即与这一点相应的復数Z）是否在曼德尓勃罗特集內的方法很简单，在“復数平面”內对“迭代公式”Z--Z•Z+C
   （这里“• ”是乘法的符号，其中C是任一常数）反复迭代，这样就会产生Z1、Z2、Z3、Z4、Z5、Z6••••••的无限系列。初始点Z1可以在“復数平面”內任意选择，如果Z1、Z2、Z3、Z4、Z5、Z6••••••收敛，那么，就可以把这个Z（即初始点）确定为曼德尓勃罗特集（图4曼德尓勃罗特集的黑色部分）內的一个点；如果Z1、Z2、Z3、Z4、Z5、Z6••••••系列发散，走向无穷大，就可以认定这个Z（即初始点）不在曼德尓勃罗特集內。这样的计算过程用纸和笔也可以进行，但计算数日、数月、数年也只能算出数十、数千、数万个点，难以看清曼德尓勃罗特集的全貌，而借助于高速计算机就很容易绘出曼德尓勃罗特集，看到它的全貌，并能无限地放大下去，看到它的曼德尓勃罗特集的精细结构。图5是若干幅曼德尓勃罗特集的精细结构。
   
   
   
   
   
   在google上打
   “mandelbrot set”，有数千幅图，请挑选
   
   
   
   
   （图5）放大不同程度的曼德尓勃罗特集的精细结构
   
   
   “发现”与“发明”的区别
   图4、图5的曼德尓勃罗特集的图形印刷在纸张上，它与曼德尓勃罗特集本身是有区别的，前者是后者的近似。前者存在于“现实世界”中，后者存在于“规范世界”中。“规范世界”中的曼德尓勃罗特集并不是人脑发挥高度想像力构思出来的，它既不在“现实世界”中存在，也不是人的思维的创造或发明。曼德尓勃罗特集和形形色色的“分形”图案，存在于“规范世界”中，通过人的思维所发现，從“规范世界”进入“观念世界”（参见上期《超越“唯物论”和“唯心论”》一文第67页〈〈“现实世界”和“规范世界”关系图〉〉）。就是在今天，曼德尓勃罗特集放大亿万倍的亿万倍的精细结构，并没有人知道，也就是說，这些放大亿万倍的亿万倍的精细结构今天并不存在于“观念世界”中，需要人们继续探索和发现。
   关于“规范世界”的理论并非哲学空谈，它是“新药研制”、“基因设计”、“生物工程”以及在人文、社会科学中用来分析“神”的观念、比较宗教、比较意识形态、“社会乌托邦主义”的理论基础。
   
   
   
   
   这幅图也可选用