数学与哲学
    现代的数学家大都很少关心哲学文题，甚至对基础问题一般都不闻不问。从二十世纪三十年代之后，数理逻辑成为一门极为专门的学科，象几何、拓扑、分析、代数、数论一样，成为专家研究的对象，外行简直难于理解。
    这样一来，数学家与数学基础、数理逻辑，乃至数学哲学脱离的越来越远，这可以从当代一位有影响的数学家的说法看出来。布尔巴基学派主要成员丢东涅谈到：“众所周知，从十九世纪后半叶以来，数理逻辑和集合论的发展引起当时许多数学家的兴趣乃至极大的热情，他们甚至并非逻辑专家，也毫不迟疑地参与由这些问题所引起的论战。到今天，这种局面完全两样。我觉察不到当代数学界的年轻的领袖人物对于基础问题表示过程何兴趣，除非他们专搞这一行”。当然，他们也不能说没有自己的哲学。拿布尔巴基学派来说，他们就是形式主义派的极端代表。不过，他们对哲学论战不那么感兴趣罢了。
    在十九世纪末，这种情况则完全不一样。哲学的论战与基础问题紧密结合在一起，成为几乎每位重要数学家的关注对象。到了二十世纪，更是有着所谓三大派——逻辑主义、直觉主义和形式主义的争论。不过这些争论问题并没有得到解决，更重要的是，它们似乎离数学问题越来越远，因此越来越失掉了指导意义。
    三十年代以后，讨论数学哲学的不多论著大都是数理逻辑专家或哲学家写的。因此，他们讨论的哲学问题大都偏重于数理逻辑，而较少涉及数学本身的哲学问题。王浩在他的《从数学到哲学》—书中，谈到数学哲学讨论的主要问题：1、纯粹逻辑的本性及其在人类知识中的地位；2、数学概念的刻划；3、直觉及形式化在数学中的地位；4、逻辑与数学的关系；5、数学的本性及其与下列诸概念的关系，必然性、分析性、真理性、先验性、自明性；6、数学在人类知识中的地位；7、数学活动及实际。

    显然这些问题都是数理逻辑专家感兴趣的题目。但是在过去，数学哲学的题目比这更广泛、更一般。我们列举几条：1、数学的对象以及它们与现实世界(或实在)的关系；2、(由此产生的)数学中的“存在”，乃至无穷的意义；3、数学活动的本质是发现还是发明；4、数学的真理性、绝对性、相对性、约定性；5、真理的判断标准；6、数学与逻辑的关系；7、数学的方法论，公理化与形式化。
    数学作为人类知识体系的一部分，不能不直接或间接和人类社会实践活动有关。在长期实践过程中，人们进行计数、计算、测量、造型(建筑)、产生出算术、代数、几何等方面数学知识。随着人类认识的深入，形成了数学的体系，它的内容主要是符号化、计算方法、概念与规律性、证明推理。
    到了十九世纪七十年代，数学内容进一步发生变化：集合论成为统一数学的新基础，数理逻辑的形成、公理化运动、数学结构、抽象数学概念指数增长。在这种情况下数学内容与其实际背景脱离越来超远，从局部看来仿佛是从天上掉下来的，这就导致数学对象的唯心主义理解。
    关于数学的对象有三种观点：实在论、观念论、形式主义，实在论观点是说数学命题反映我们物理世界最普遍的性质。这种观点比较古老，很长时期占统治地位。按照这种观点，数学是物理科学的一部分。
    观念论的数学观认为数学的对象是某种精神或思想对象。观念论按照对象的性质又可以区分为各种观点：一个极端是柏拉图主义，它把经典数学的对象无穷扩张也有其现实性；另一个极端是直觉主义，数学对象是先验的一时的直觉过程。
    这种观念论的数学观也遭到批评，一是不确切，二是另有形而上学的假定，而数学应该除掉形而上学前提条件。拿直觉主义来讲什么是“直觉”呢？很难讲清。不过，它们有这样的性质：1、它本质上是一种思维活动；2、它是先验的；3、它不依赖于语言；4、它是客观的，也就是对于所有思想者都是同样的。
    形式主义的数学对象是形式系统，形式系统与以上两种数学观的对象不同，它只是一个架子，指定一些对象而不管其意义如何，然后由对象按照一定规则组成项，并规定由项组成的一些原始话题的方式，再指定一些原始命题称为公理及推演规则。数学的对象就是这样构成的形式系统，其主要任务就是由这些对象推出定理来。从某种意义上来讲，形式主义的数学就是符号游戏。
    从上述几种观点看来，持实在论及柏拉图主义观点的人认为数学是不依赖于人们对它的认识而存在，因而具有绝对真理的性质，所以数学家的工作就在于发现这种真理。但是直觉主义者和形式主义者则认为数学家的工作在于发明。当然，人们是不可能凭空发明任何东西的。对于直觉主义者来讲，总是承认自然数是给定的，至于别的就是人们从自然数出发的发明。
    形式主义者的形式系统虽说可以任意选出，但是终究在发明过程中也仰赖于经验及过去的知识，或者说是从客观世界中归纳出来的。要不然，那就的的确确是游戏了。
    不过直觉主义的发明和形式主义的发明完全不同。直觉主义的发明不是任意的，而是必须能够具体选出来，也就是从自然数经过有限多步写出来。他们主张，要证明一个数学对象存在，必须指出这个对象是怎样造出来的。这种观点可以远溯到德国著名哲学家康德，他认为数学最终的真理性在于数学概念可以通过人的智慧来构造。
    由于对数学对象的观点不同，所以对于数学命题的真假以及数学的可接受性也有不同的看法。一门数学是否被大家接受往往不只是靠真、假，而且还有许多其他因素，特别是是否有直观或经验的依据，以及实用性。当然最重要的是真假，不过各派的真理观距离实在太远。
    对于实在论者，数学命题的真假靠实践检验。它正如物理学及生物学命题一样，靠观察实验。比如高斯的确实实在在地在地球上找三点，具体测量三角形内角之和是否为180°。对于观念论者，数学命题的真假要靠先验的假定。
    对于形式主义者，数学命题无所谓绝对真假，而是相对于某一个系统，但是这个系统必须是无矛盾的，无矛盾性是真理的判断标准。
    产生最大矛盾之处是关于无穷的概念。在有穷的问题上，各派的对立没有那么尖锐，它主要是数学中到处出现的无穷造成的。在古希腊，关于无穷可分性没连续性的芝诺悖论使数学家对无穷特别小心。欧几里得的无穷是潜在的无穷，他不讨论无穷长的直线而只讨论可以延伸到任意长度的线段。他对无穷观念表现在“素数无穷多”是指任何有限多素数集台之外还有素数，而不考虑所有素数的无穷整体。数学家一直回避这种实在的无穷。一直到康托尔集合论之前，他们都局限于潜在的无穷，这就是超越过所有有限的变化着的有限。
    而实在的无穷则分为三类：1、绝对的实在无限，完全独立的、超越世界而存在的，在神中实现的绝对的实无穷；2、超穷，现存世界或被造世界中具体化的无穷；3、超穷数，人仍所认识的抽象的实在的无穷。
    依据对超穷和超穷数的见解，可以区分为下面四种观点：1、完全否认超穷和超穷数，如柯西；2、承认具体的实在无穷，但否认抽象的实在无穷，例如笛卡尔、莱布尼兹、洛克、斯宾诺莎都持这种看法；3、神学的观点，承认抽象的实在无穷而否认具体的实在无穷，也就是显示上帝的伟大，只有上帝才是无穷的，而他所创造的世界只能是有限的；4、康托尔的观点是既承认抽象的实在无穷，也承认具体的实在无穷，康托尔的观点中有柏拉图 主义的成份，他不是形式主义者。