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让我来懵一懵这个数学趣味题 主题：让我来懵一懵这个数学趣味题
送交者: 小溪 于 北京时间 09/27/2006 (251 reads)
回答: 数学上的幽默等式^_^ 思童 于 09/26/2006
[宗教论坛] 思童提出的问题是：
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“4维欧氏空间中的一个“正方体”在三维空间里的投影就是一个通常的（三维）正方体，这个4维正方体在4维空间的点、棱、面的个数是多少？一般情况下，在n（n≥3）维欧氏空间，这个问题的答案如何？”
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思童好象说过出于兴趣研究此问题花了若干日子推导出一般表达式。我们不可能想一想就得出正确结果，我不想花时间作任何数学推导，只是凭大脑的直觉懵一懵：
三维空间正方体： 6个面， 8个点， 12个棱
四维空间正方体： 12个面， 16个点， 24个棱
五维空间正方体： 24个面， 32个点， 48个棱
N 维空间正方体： 2^n - 2^(n-2) 面
2^n 点
2^(n+1)- 2^(n-1) 棱
（注解： ^ 代表方次数, 2^(n-2) 代表 2 的（n-2)次方。）
请思童指正。
----------思童的回答------------
送交者: 思童 于 北京时间 09/27/2006 (103 reads) [思童累积51950分]本文版权由思童拥有，转载请注明作者和出处
回答: 让我来懵一懵这个数学趣味题 小溪 于 09/27/2006
主题：点数一样，其他不同。
[宗教论坛] 用M(n）、L（n）、D（n）分别表示这个n为超正方体的面、棱、点的个数，我推导的结果是：
M（n）=n*（n－1）*2^(n－3)
L（n）=n*2^(n－1)
D（n）=2^n
我兄的结果，点数公式D（n）我们一样，其他的就不一样了：
【M（n）＝ 2^n - 2^(n-2)
＝2^（n-2)*[2^2-1]
＝ 3*2^(n-2)[≠n*(n-1)*2^(n-3)]
L（n）＝2^(n+1)- 2^(n-1)
＝2^(n-1)[2^2-1]
＝3*2^(n-1)[≠n*2^(n-1)]】
上述公式证明的过程比较罗嗦。
-------思童给出谜底-----------------
送交者: 思童 于 北京时间 09/27/2006 (132 reads) [思童累积52100分]本文版权由思童拥有，转载请注明作者和出处
回答: 不错啊没吃鸭蛋，花20分钟时间懵对了三分之一已经是大喜过望了。 小溪 于 09/27/2006
主题：是这么得到的：
[宗教论坛] 对于n＝3，我们可以沿着上下、左右、前后三个方向建立起三条两两垂直的坐标轴，从而把三维欧氏空间分割成8个部分（卦限），取正方体的每条棱与对应的坐标轴平行，正方体中心与坐标原点重合，则这个正方体的每个顶点各自位于坐标系的一个卦限；进一步的，对于n维空间，可以建立一个坐标系，n维坐标系有n条两两垂直的坐标轴，将空间分为2^n个部分，一个n维超级正方体的每个顶点与坐标系对应的n^个“卦限”一一对应，故超级正方体顶点个数D（n）＝2^n；
下面就开始复杂了点儿：通过每个顶点都有n条两两垂直的棱，故2^n个顶点好像有n*2^n条棱；但是每一条棱都有两个顶点，因此棱的实际条数应该是上述个数除以2，即：L（n）＝（n*2^n）÷2＝n*2^（n－1）；
类似的思路：每个顶点有n条棱，这n条棱任意两条都是组成一个正方形的两条邻边，因此通过一个定点的面的个数应该是，从n个元素中任取出2个所得出的组合数n*（n－1）/2；n个顶点形式上就有（顶点个数）×（上述组合数），考虑到，每4个顶点构成一个面，故面的实际个数M（n）是以上数字除以4：
M（n）＝（2^n）*[n*(n-1)/2]÷4＝n*(n-1)*2^(n-3)
至此，我们得到了全部结果。
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使用思童推导出来的公式算出，
三维空间正方体： 6个面， 8个点， 12个棱
四维空间正方体： 24个面， 16个点， 32个棱
五维空间正方体： 80个面， 32个点， 80个棱
六维空间正方体： 240个面， 64个点， 192个棱
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